A parábola

Hoje eu estarei postando um pouco sobre a parábola, esta linda curva que nos acompanha desde o Ensino Fundamental e até hoje nos mostra algumas curiosidades...

                Postarei aqui apenas um pouco da definição de parábola, como calcular sua equação, tendo o ponto de foco contido na reta das ordenadas e uma sugestão de como verificar suas propriedades através do software Geogebra.

A Parábola

A maioria de nós sabe que uma equação do segundo grau nos gera uma parábola como gráfico, mas nem todos sabemos dizer o que exatamente é uma parábola. LEITHOLD em seu livro “O Calculo com Geometria Analítica Volume 1” nos dá a seguinte definição, na pagina 578:

                10.1.1 DEFINIÇÃO Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano, equidistantes de um ponto e de uma reta fixos. O ponto fixo é chamado de foco e a reta fixa é chamada de reta diretriz.

                Seguindo essa mesma linha de raciocínio, LEITHOLD ainda nos dá um teorema que torna possível calcular a equação da parábola, apenas com o foco e com a reta diretriz.

                10.1.3 TEOREMA A equação da parábola com foco em (0,p) e tendo reta diretriz y = -p é x² = 4py.

Lembrando que este teorema somente é valido para parábolas com o ponto de foco contido no eixo das ordenadas.

Ainda neste mesmo livro, o autor afirma que o comprimento da latus rectum (corda com suas extremidades pertencentes à parábola, perpendicular ao eixo da mesma que passa pelo ponto de foco) é |4p|.

A titulo de ilustração, calcularemos aqui a equação de uma parábola e fazemos seu gráfico utilizando o software Geogebra.

ILUSTRAÇÃO 01

Dado o foco da parábola F(0,4) e reta diretriz y = -4, pelo teorema 10.1.3 citado acima, produzem a seguinte equação de uma parábola: x² = 16y. O comprimento da latus rectum é 16.

Agora utilizando o software Geogebra, criaremos o ponto F(0,4) digitando na caixa de entrada “F=(0,4)”, e em seguida criaremos a reta que constante em y = -4, digitemos na caixa de entrada “y = -4”.

Como já calculamos a equação da parábola, simplesmente a plotaremos no software, digitando “x^2=16y”. Para verificar se o comprimento da latus rectum é 16, iremos inserir um segmento de reta, perpendicular ao eixo de simetria da parábola, passando pelo ponto F. Com a ferramenta “Reta Perpendicular” clique no ponto F e no eixo y, agora com a ferramenta “Intersecção de Dois Objetos” clicaremos sobre a reta perpendicular recém criada e sobre a parábola. Foram criados dois pontos B e A pertencentes a nossa curva e colineares a F. A fim de se conhecer o comprimento dessa corda BA, criaremos um segmento de reta entre elas. Com a ferramenta “Segmento definido por Dois Pontos” clicaremos em A e em B. Observe que o segmento de reta criado tem exatamente o valor que calculamos anteriormente para a latus rectum.

Agora para verificar se realmente todos os pontos da parábola são equidistantes ao foco e a reta diretriz, criaremos um ponto qualquer sobre a curva com a ferramenta “Novo Ponto”. Tendo este ponto C criaremos uma reta perpendicular a nossa reta diretriz e ao ponto C e marcaremos a intersecção entre esta reta e a nossa diretriz, obtendo assim o ponto D.

Criaremos então os segmentos de reta FC e CD, observando que ambos tem o mesmo comprimento, não importando quais as coordenadas de C. Isto nos mostra que realmente todos os pontos da parábola são equidistantes ao foco e a reta diretriz.

Cabe lembrar aqui que muito mais pode ser trabalhado em cima deste tema, então não se acanhem BUSQUEM CONHECIMENTO.

CONJUNTOS E LÓGICA FUZZY

Hoje eu resolvi postar sobre um tema que me interessa muito e é tema de meu TCC. Este é apenas um resumo do que há em meu trabalho, mais ao final do ano eu posto meu trabalho na integra para vocês todos conhecerem mais sobre o assunto.

CONJUNTOS E LÓGICA FUZZY

Em 1965 Lotfi Asker Zadeh, da Universidade da Califórnia, publicou na revista Information and Control, seu trabalho sobre conjuntos Fuzzy, baseado na lógica multivalorada. Em 1967 apresentou a lógica Fuzzy, baseado na teoria dos Conjuntos Fuzzy.

            A Lógica Fuzzy, ou Difusa, trata-se de uma lógica multinível, onde se admite valores entre o ‘Verdadeiro’ e ‘Falso’, utilizados na lógica clássica. “Ela combina a lógica polivalente, teoria das probabilidades, inteligência artificial e redes neurais, visando representar o modo humano de pensar e se expressar.” (MACHADO, CUNHA, 2008, p. 78).

Uma definição para lógica difusa, encontrada no Dicionário Aurélio é: 1. Extensão da lógica booleana, na qual as variáveis podem adquirir graus intermediários de veracidade ou falsidade, representados por valores fracionários entre 0 e 1.

            A teoria de conjuntos Fuzzy consegue caracterizar conjuntos que não possuem limites bem postos, por exemplo, quais seriam os elementos do conjunto dos homens baixos?  Ou então quais seriam os elementos dos homens velhos? Não existe uma fronteira bem definida para dizer se um certo homem é baixo, ou não, velho ou não, o que existe é uma taxa de pertinência. Alguém com 1,65 m está mais próximo de ser uma pessoa pertencente ao conjunto dos homens baixos do que dos homens altos. O mesmo acontece com um homem de 45 anos, que tem um grau de pertinência ao conjunto dos homens velhos menor do que se levar em consideração um homem de 60 anos.

            Zadeh (1965) introduziu a teoria de conjuntos Fuzzy para tentar dar um sentido matemático para termos imprecisos da linguagem, palavras como “aproximadamente”, “em torno de” dentre outros (BARROS, 2002).  Para expressar um conjunto Fuzzy, Zadeh se baseou no fato de que qualquer conjunto clássico pode ser representado por sua função característica definida como: F(x) = 1 se x ∈ A, e 0 se x∉A

.

Flexibilizando essa ideia, segundo Spina, Domite e Bassanezi (2012), os conjuntos Fuzzy aceitam qualquer número contido no intervalo [0,1] onde 0 significa que x ∉ A, 1 significa x ∈ A e os valores intermediários expressão o grau de pertinência.

Khan Academy

Salman Khan é uma pessoa que soube aproveitar a oportunidade que lhe foi dada, pelo que li na matéria da revista ele começou a fazer esses vídeos para ensinar uma prima que tinha dificuldade em matemática. A ideia foi, fazer vídeos curtos e o menos complexos possíveis, o que de um ponto de vista pode ser muito bom se você esta querendo aprender alguma “regrinha” matemática, ou se você precisa aprender algo em um curto período de tempo, também é bom pois o uso do computador pela criança em idade escolar já é um incentivo para o seu aprendizado, uma motivação. Um aspecto negativo na minha opinião é que as aulas que ele posta, não passam de aulas tradicionais utilizando um quadro negro e giz (na verdade é um software que tem uma tela negra e lápis coloridos), não utiliza nenhum artificio para ensinar realmente o aluno, apenas mostra como se deve fazer.

Na minha humilde opinião, eu acredito que este método faz sucesso por apenas dois motivos: O primeiro é que quem procura por seus vídeos, já esta disposto a aprender o assunto, e como somos todos humanos preguiçosos, temos preguiça de pensar, portanto um vídeo que nos mostre o que fazer em certa situação é o que parecer ser o melhor para o nosso cérebro acostumado a não pensar; O segundo principal motivo é Bill Gates, que acabou conhecendo o senhor Khan e gostando do seu método de ensino e fazendo um bom investimento financeiro na sua ideia.

Seria uma maravilha se não necessitássemos mais de professores, se todo o conteúdo a ser aprendido estivesse gravado em um banco de dados, disponível a nós através da internet, mas nós professores e futuros professores sabemos que não é bem assim, como já é dito para mim desde o primeiro ano de faculdade, cada um aprende de um jeito, não existe formula magica ou vídeo do youtube que vá mudar isto. É ótimo ter esses vídeos para tirar uma duvida, ou como disse no inicio, para aprender algo em um curto período de tempo, mas para isto ocorrer é necessário primeiro o interesse do estudante, que muitas vezes é despertado por um bom professor. 

Para você que ficou interessado no assunto, pode ver todos os videos do senhor Khan no site: http://www.khanacademy.org/, mas lembrando que os videos estão em inglês. Se você quiser ver videos dublados, temos o site: http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/. Uma dica que dou é: se você entende um pouco de inglês, veja os videos originais, são muito mais interessantes.

Este texto foi postado tanto para obtenção de nota na disciplina de informatica aplicada a educação, quanto para interesse geral da nação Só lembrando que tudo que foi escrito neste post é apenas a minha humilde opinião de futuro professor de matemática. Qualquer duvida, reclamação, sugestão, ou elogios, pode fazer um comentário, isto me deixaria muito feliz.

Obrigado, até a próxima e não se esqueçam: BUSQUEM CONHECIMENTO. 

O Último Teorema de Fermat

Segue abaixo a critica de Pedro Galvão sobre um livro que realmente me chamou a atenção. Este livro mostra o qual maravilhoso é o mundo das demonstrações matemáticas, é um livro de fácil entendimento para leigos em matemática e uma ótima leitura para quem já tem algum entendimento no assunto. 

Se você já esta com preguiça de ler toda essa enorme critica, leia pelo menos ESTE POST que mostra de forma resumida do que o livro se trata.

Uma história de 358 anos

Pedro Galvão

O Último Teorema de Fermat, de Simon Singh
Tradução de António Manuel Baptista
Relógio d'Água, 1998, 336 pp.

No final do Verão de 1994, depois de oito anos de trabalho intenso, o matemático Andrew Wiles estava disposto a admitir a derrota. O último teorema de Fermat parecia ter ficado uma vez mais por demonstrar. No ano anterior, Wiles apresentara à comunidade científica a sua demonstração, um resultado brilhante de sete anos de investigação solitária que fornecera à matemática novas técnicas e estratégias para abordar problemas. Mas havia um erro nessa demonstração. De início tinha parecido um erro menor, mas foi resistindo a todas as tentativas de correcção à medida que os meses passavam. Resignado, Wiles procurava compreender as razões da sua derrota. Teve então "essa incrível revelação". Subitamente, entendeu que se conciliasse duas teorias que antes só abordara isoladamente, o problema ficaria resolvido. E assim conseguiu demonstrar o teorema de Fermat.

Este foi o final feliz de uma história intrincada, uma longa história de 358 anos que Simon Singh nos dá a conhecer em "A Solução do Último Teorema de Fermat". Na verdade, Singh ocupa-se de um período ainda maior, pois acompanha a história da matemática desde Pitágoras, mas o enigma central do livro surgiu apenas com Pierre Fermat no século XVII. Fermat tinha uma tendência irritante para não divulgar o seu trabalho. Como muitos matemáticos do seu tempo, gostava de manter secretas as demonstrações que realizava. Numa margem do seu exemplar da "Aritmética" de Diofanto, escreveu uma afirmação que o celebrizou: "Tenho uma demonstração maravilhosa desta proposição que esta margem é demasiado estreita para conter." Dessa demonstração não ficaram quaisquer vestígios e a proposição em causa tornou-se conhecida por "último teorema de Fermat". O teorema que Fermat alegou ter demonstrado é muito simples. Ele diz-nos apenas que a equação xⁿ + yⁿ = zⁿ não tem soluções com números inteiros quando n é maior do que 2. Quando n é igual a 2 isso não acontece, como podemos ver através do exemplo 3² + 4² = 5². Mas, disse Fermat, se n for maior do que 2, não encontraremos no conjunto infinito dos números inteiros uma única solução para a equação indicada. Como se pode saber tal coisa? Esse foi o grande problema que gerações de matemáticos enfrentaram sem sucesso. Realizaram-se alguns avanços notáveis que produziram novas técnicas e instrumentos matemáticos, mas quem tentou demonstrar o teorema de Fermat em toda a sua generalidade acabou por fracassar. Há cerca de 20 anos, no entanto, deu-se um desenvolvimento inesperado. Demonstrou-se que, se uma importante conjectura apresentada por dois matemáticos japoneses fosse verdadeira, o teorema de Fermat também seria verdadeiro. O desafio de Wiles foi assim o de demonstrar essa conjectura e ao fazê-lo conseguiu validar não só o teorema de Fermat, mas toda a matemática que nele se apoiava.

Com o livro de Singh, não podemos esperar compreender em profundidade a demonstração de Wiles. Só um décimo dos especialistas em teoria dos números consegue compreendê-la plenamente. No entanto, com um mínimo de recursos técnicos, Singh envolve-nos nas principais estratégias, dificuldades e surpresas que estiveram presentes nas tentativas de resolver o enigma de Fermat. Desta maneira, familiariza o leitor com formas de raciocínio importantes, como a redução ao absurdo e a indução matemática, e deixa também bem clara a especificidade do conhecimento matemático. Para além disso, o livro apresenta uma grande diversidade temática, pois Singh, sem nunca perder de vista o tema principal, realiza inúmeras incursões interessantes que afastam a possibilidade de a leitura de tornar enfadonha. A propósito do contributo de Sophie Germain, por exemplo, considera-se o lugar das mulheres na história da matemática e as dificuldades que estas encontraram, e a propósito de Turing somos conduzidos aos métodos de decifração de códigos durante a Segunda Guerra Mundial. O último capítulo, que incide em grande parte na controvérsia sobre o uso de computadores na realização de demonstrações, conclui o livro com a mesma frescura das primeiras páginas.

Critica copiada na integra do site:

http://criticanarede.com/lds_singh.html 

escrito por Pedro Galvão

publicado originalmente no jornal Público.