A parábola

Hoje eu estarei postando um pouco sobre a parábola, esta linda curva que nos acompanha desde o Ensino Fundamental e até hoje nos mostra algumas curiosidades...

                Postarei aqui apenas um pouco da definição de parábola, como calcular sua equação, tendo o ponto de foco contido na reta das ordenadas e uma sugestão de como verificar suas propriedades através do software Geogebra.

A Parábola

A maioria de nós sabe que uma equação do segundo grau nos gera uma parábola como gráfico, mas nem todos sabemos dizer o que exatamente é uma parábola. LEITHOLD em seu livro “O Calculo com Geometria Analítica Volume 1” nos dá a seguinte definição, na pagina 578:

                10.1.1 DEFINIÇÃO Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano, equidistantes de um ponto e de uma reta fixos. O ponto fixo é chamado de foco e a reta fixa é chamada de reta diretriz.

                Seguindo essa mesma linha de raciocínio, LEITHOLD ainda nos dá um teorema que torna possível calcular a equação da parábola, apenas com o foco e com a reta diretriz.

                10.1.3 TEOREMA A equação da parábola com foco em (0,p) e tendo reta diretriz y = -p é x² = 4py.

Lembrando que este teorema somente é valido para parábolas com o ponto de foco contido no eixo das ordenadas.

Ainda neste mesmo livro, o autor afirma que o comprimento da latus rectum (corda com suas extremidades pertencentes à parábola, perpendicular ao eixo da mesma que passa pelo ponto de foco) é |4p|.

A titulo de ilustração, calcularemos aqui a equação de uma parábola e fazemos seu gráfico utilizando o software Geogebra.

ILUSTRAÇÃO 01

Dado o foco da parábola F(0,4) e reta diretriz y = -4, pelo teorema 10.1.3 citado acima, produzem a seguinte equação de uma parábola: x² = 16y. O comprimento da latus rectum é 16.

Agora utilizando o software Geogebra, criaremos o ponto F(0,4) digitando na caixa de entrada “F=(0,4)”, e em seguida criaremos a reta que constante em y = -4, digitemos na caixa de entrada “y = -4”.

Como já calculamos a equação da parábola, simplesmente a plotaremos no software, digitando “x^2=16y”. Para verificar se o comprimento da latus rectum é 16, iremos inserir um segmento de reta, perpendicular ao eixo de simetria da parábola, passando pelo ponto F. Com a ferramenta “Reta Perpendicular” clique no ponto F e no eixo y, agora com a ferramenta “Intersecção de Dois Objetos” clicaremos sobre a reta perpendicular recém criada e sobre a parábola. Foram criados dois pontos B e A pertencentes a nossa curva e colineares a F. A fim de se conhecer o comprimento dessa corda BA, criaremos um segmento de reta entre elas. Com a ferramenta “Segmento definido por Dois Pontos” clicaremos em A e em B. Observe que o segmento de reta criado tem exatamente o valor que calculamos anteriormente para a latus rectum.

Agora para verificar se realmente todos os pontos da parábola são equidistantes ao foco e a reta diretriz, criaremos um ponto qualquer sobre a curva com a ferramenta “Novo Ponto”. Tendo este ponto C criaremos uma reta perpendicular a nossa reta diretriz e ao ponto C e marcaremos a intersecção entre esta reta e a nossa diretriz, obtendo assim o ponto D.

Criaremos então os segmentos de reta FC e CD, observando que ambos tem o mesmo comprimento, não importando quais as coordenadas de C. Isto nos mostra que realmente todos os pontos da parábola são equidistantes ao foco e a reta diretriz.

Cabe lembrar aqui que muito mais pode ser trabalhado em cima deste tema, então não se acanhem BUSQUEM CONHECIMENTO.